Jak rozumieć matematyczność przyrody?

ks. prof. Michał Heller abp Józef Życiński Matematyczność Przyrody ISBN: 978-83-61533-58-0 wyd.: Wydawnictwo PETRUS 2010

Wybrane fragmenty Michał Heller Co to znaczy, że przyroda jest matematyczna? Józef Życiński Jak rozumieć matematyczność przyrody?

Józef Życiński

Jak rozumieć matematyczność przyrody?

Mimo iż od czasów klasycznych prac Alfreda Northa Whiteheada problematyka zadziwiającej skuteczności matematyki w opisie zjawisk przyrody otrzymała rozległą literaturę, niezmiennie można spotkać opinie, iż dyskutowana kwestia stanowi problem pozorny, w genezie którego indywidualne fascynacje dominują nad uzasadnionymi merytorycznie przesłankami. Zwolennicy takiego podejścia utrzymują, iż tzw. matematyczność przyrody nie stanowi zjawiska, które zasługiwałoby w większym stopniu na uwagę niż np. literackość przyrody czy artyzm przyrody. Fakt, iż przyrodę można opisywać w kategoriach pojęć matematyki, pozostaje w ich opinii równie banalny, jak możliwość literackiego opisu przyrody czy możliwość wykorzystania wątków przyrodniczych
w sztuce. Problemy psychologiczne związane z trudnością zrozumienia formuł matematyki mogą ułatwiać fascynację matematycznym opisem przyrody, nie zaś jej prezentacją przedstawioną w malarstwie czy poezji. We wszystkich wymienionych przypadkach ma jednak wchodzić w grę to samo zjawisko korespondencji między obiektywną rzeczywistością a wybranymi przez nas środkami opisu językowego. Estetyka równań matematycznych może rodzić tę samą fascynację, jaką rodzi piękno poematu czy sonetów; wyjaśnienia tych doznań nie należy jednak bynajmniej poszukiwać w platonizujących spekulacjach, gdyż —
zgodnie z zasadą brzytwy Ockhama — wystarcza odwołanie się do psychologicznych predyspozycji człowieka uzależnionych od kierunku jego filogenetycznego rozwoju. Rozwój ten umożliwił wypracowanie środków językowych, które zarówno opisują rzeczywistość z dobrym przybliżeniem, jak i dostarczają estetycznych doznań związanych z recepcją opisu.

Podejmując próbę określenia, jakie treści łączone są z używanym w sposób skrótowy wyrażeniem „matematyczność przyrody”, chcę najpierw zwrócić uwagę, iż analogie, w których nadaje się identyczny status literackim oraz matematycznym opisom przyrody, opierają się na powierzchownych podobieństwach, natomiast ignorują istotne różnice między dwoma omawianymi formami opisu. Różnice te próbuję określić następnie charakteryzując wielość treści łączonych z wyrażeniem „matematyczność przyrody”.

1. Matematyczność a literackość przyrody

Zarówno w przypadku dzieła literackiego, jak i w pojętym szeroko artystycznym opisie przyrody mamy do czynienia z sytuacją, w której element pierwotny stanowi zbiór doznań odpowiadających określonym dziedzinom przyrody, natomiast czynnikiem wtórnym pozostaje zbiór językowych środków ekspresji użytych do literackiej czy artystycznej charakterystyki danych dziedzin. Stąd też obraz przedstawiający walkę jednorożców z pegazami lub poemat sławiący urodę feniksa pozostają interesujące jako przejaw twórczej fantazji autorów, nie można ich natomiast zaliczać do dzieł opisujących przyrodę. Zasadnicza różnica w statusie opisu matematycznego przejawia się natomiast w tym, iż większość działów matematyki rozwinęła się nie w wyniku poszukiwania środków opisu dla wcześniej znanych zjawisk fizycznych, lecz jako przyczynek do „matematyki czystej” wolnej od odniesień do procesów zachodzących w przyrodzie. Najpierw określano więc w matematyce zbiór czysto logicznych relacji pozbawionych interpretacji fizycznej, następnie zaś okazywało się, iż interpretacjom tym odpowiadają modele w istniejącym realnie świecie. Gdyby własność taka związana była również ze wspomnianą literackością przyrody, należałoby oczekiwać, iż np. Szekspirowski opis dramatu Hamleta będzie miał niealegoryczną kontynuację w wydarzeniach składających się na historię Danii. Gdyby odkrycie takie rzeczywiście miało miejsce, literackość opisu poetyckiego ujawniałaby swą składową heurystyczną, co trudno byłoby uważać za fakt banalny poznawczo.

Nieobecność podobnych zjawisk ukazuje istotną różnicę między literackością a matematycznością przyrody. W pierwszym typie opisu oscylujemy między sprawozdawczym uogólnieniem a twórczą fantazją, której wytwory są pozbawione realnych desygnatów. W drugim typie najbardziej intrygujący pozostaje fakt występowania modeli fizycznych dla abstrakcyjnych formuł, które zostały wprowadzone bez jakiegokolwiek odniesienia do konkretnych procesów.

W celu uniknięcia nieporozumień należy przyznać, iż w genezie arytmetyki elementarnej miało również miejsce dostosowywanie formuł arytmetycznych do aktualnych potrzeb związanych ze strukturą świata fizycznego. Wprowadzając operację dodawania lub mnożenia liczb całkowitych, kierowano się niewątpliwie realnymi potrzebami związanymi z codzienną pragmatyką. Z kolei inne dziedziny tej pragmatyki nie doczekały się korespondujących dziedzin arytmetyki. Formułę 2 + 2 = 4 można było odnosić do dodawania kamieni, owiec czy osób, ale nie do opisu procesów, w których trzy strumienie łączą się w jedną rzekę lub kilka obłoków tworzy jedną dużą chmurę. Tego typu zdroworozsądkowe przykłady dotyczą jednak marginesowych kwestii związanych z naturą matematyki. W jej początkowym stadium rozwoju, w prehistorii naszego gatunku, matematyczność przyrody, zredukowana do poziomu podstawowej „arytmetyczności” świata, mogła jawić się jako odpowiednik literackości przyrody. W późniejszych stadiach rozwoju tej dyscypliny, akcentowanie pozornego podobieństwa tych dwóch ujęć pełni funkcje dezinformujące, kierując uwagę na mało istotne analogie i pomijając równocześnie doniosłe różnice.

Podstawowe terminy Elementów Euklidesa nie miały swych fizycznych odpowiedników w przyrodzie. Bezwymiarowe punkty i nieskończenie długie proste odegrały jednak wielką rolę w genezie nauki nowożytnej, prowadząc do przełomowych prac Galileusza z zakresu nowej dynamiki. Sam Galileusz bynajmniej nie uważał tego faktu za banalny poznawczo i bynajmniej nie identyfikował statusu retorycznych wywodów Simplicia ze statusem geometrycznego „tekstu” odnajdywanego, ku zaskoczeniu badaczy, w tajemniczej Księdze Natury.

Klasycznego przykładu interesujących własności języka matematyki dostarczają pochodzące z tej samej epoki prace Keplera. Ich autor podjął próbę zastosowania do astronomii analiz geometrycznych, które przez osiemnaście wieków można byłoby zaliczać do matematyki czystej. Twórca owych analiz, Apoloniusz z Pergi, należał do wybitnych astronomów starożytnej Grecji; pisząc swój traktat O przekrojach stożka nie podejrzewał on jednak, iż geometryczne studium elipsy, paraboli i hiperboli może mieć jakiekolwiek zastosowania w astronomii lub fizyce. 1800 lat później Kepler, po zapoznaniu się z pracami Apoloniusza, dostrzegł możliwość ich zastosowania do badań szczegółowych zagadnień optyki zwierciadeł parabolicznych. Dalsze prace Keplera uwieńczone zostały odkryciem eliptycznych torów planet, które to odkrycie miało istotny wpływ na kierunek badań Newtona dotyczących prawa ciążenia.

Trudno wyobrazić sobie, jak mógłby wyglądać rozwój fizyki nowożytnej, gdyby nie istniała geometria z zestawem pojęć wypracowanych przez Apoloniusza. Skomplikowane mnożenie epicykli astronomii ptolemejskiej utraciło merytoryczne podstawy, gdy w słowniku nowej astronomii znalazło się pojęcie elipsy. Jego historia ukazuje dowolność rozróżnień między matematyką czystą i stosowaną; rozróżnienia Apoloniusza, które można było zaliczać przez osiemnaście stuleci do matematyki czystej, ukazały wraz z rozwojem wiedzy swą podstawową rolę w zastosowaniach astronomii.

W czasach nam bliższych ta sama prawidłowość znalazła ilustrację w dorobku Godfrey'a Harolda Hardy'ego (1877—1947). Autor A Course of Pure Mathematics w podejmowanych badaniach starał się programowo wybierać kwestie pozbawione możliwości jakichkolwiek praktycznych zastosowań. „Nigdy nie zrobiłem niczego »użytecznego« — twierdził on z dumą. — Żadne z mych odkryć nie wnosi, ani nawet nie stwarza prawdopodobieństwa wniesienia, bezpośrednio czy pośrednio, na dobre czy na złe, najmniejszej różnicy co do przydatności w świecie”. Na przekór podobnej deklaracji, funkcja zwana Zetą Riemanna, której analizy zajęły dużo miejsca w teoretycznych opracowaniach Hardy'ego dotyczących liczb pierwszych, znalazła ważne zastosowania w pirotechnice. Tzw. prawo Hardy'ego zostało — wbrew intencjom odkrywcy — zastosowane w genetyce, gdzie odgrywa ono ważną rolę w badaniach grupy Rh i w leczeniu chorób krwi. Intrygująca własność matematyki okazuje się więc w tym, iż jej formuły wprowadzane niezależnie od jakiejkolwiek interpretacji fizycznej okazują się, wbrew intencjom twórców, adekwatne do wyrażania treści fizycznych.

W kontekście podobnych odkryć nie stanowi zaskoczenia filozoficzna deklaracja Hardy'ego dotycząca statusu obiektów matematyki zawarta w pracy A Mathematician's Apology. Jej autor wyznawał: „jestem przekonany, iż rzeczywistość matematyczna znajduje się na zewnątrz nas. Naszym zadaniem jest jej odkrywanie i obserwacja. Twierdzenia, których dowodzimy i które patetycznie nazywamy naszymi »tworami«, są po prostu zapiskami z naszych obserwacji”. Takie same przekonania ontologiczne wyrażało w naszym stuleciu wielu innych autorów. Są wśród nich słynne zdeklarowania ontologicznego platonizmu przez Kurta Gödla czy Alonzo Churcha. Są również mniej znane poglądy równoważne tezie Jacquesa Hadamarda wyrażonej w jego Psychologii odkrycia matematycznego. Głosi ona: „Aczkolwiek prawda (matematyki — J.Ż.) nie jest nam jeszcze znana, preegzystuje ona i narzuca nam nieuniknione ścieżki, po których musimy posuwać się za nią”.

Specyficzny sens matematyczności przyrody przejawia się więc w tym, iż abstrakcyjnym formułom matematyki można przyporządkować modele niezamierzone w dziedzinie konkretnych procesów fizycznych. Próby rozwijania matematyki jako czysto syntaktycznej gry symboli kończą się niepowodzeniem, gdy okazuje się, iż wprowadzone symbole mają swe semantyczne korelaty na poziomie zjawisk fizycznych. Cecha ta różni istotnie matematykę od literatury czy sztuki. Na poziomie twórczości artystycznej nieistotne pozostaje pytanie, czy bohaterce powieści odpowiada jakaś rzeczywista postać albo też, co wyobraża abstrakcjonistyczny obraz. Istotna okazuje się wtedy wewnętrzna konstrukcja dzieła czy jego wpływ na psychikę odbiorcy. W przypadku formalizmu matematycznego istotna okazuje się również jego funkcja wyrażania informacji o określonej dziedzinie przyrody.

Sympatycy formalizmu metamatematycznego usiłowali wykazywać jeszcze w XX wieku, iż matematyka stanowi jedynie wolną grę symboli, pozbawioną jakiejkolwiek informacji o tzw. obiektywnej rzeczywistości. Bez względu na to, jak pojmuje się „obiektywną rzeczywistość”, intrygującą cechę matematyki stanowi to, iż jej ogólnym formułom, niezależnie od intencji twórców, odpowiadają struktury zjawisk odkrywanych w przyrodzie. Ta zaskakująca korespondencja wywołuje zrozumiałe zainteresowanie filozofów. Kiedy bowiem literat może łatwo stworzyć tekst, który nie znajdzie żadnej fizycznej realizacji, twórczości matematyka nie możemy narzucić podobnych granic. Szokujące psychologicznie konstrukcje nieposkromionej wyobraźni matematyków, wyrażone w pracach Gaussa, Łobaczewskiego czy Cantora, w krótkim czasie znajdowały zastosowanie do opisu zjawisk z obrębu przyrody. Ta niczym nieuzasadniona korespondencja między tworami matematycznej wyobraźni a ich niezamierzonymi modelami fizycznymi upoważnia do wypowiedzi o „the unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences”.

2. Filogeneza matematyczności świata

Najprostszym wytłumaczeniem korespondencji między formalizmem matematycznym i jego fizyczną interpretacją byłoby przyjęcie, iż zarówno stosowane przez nas techniki matematycznego opisu, jak i teorie przyrodnicze z opisywanymi przez nie strukturami świata mają swe ostateczne uwarunkowania na poziomie przyrody. Elementem przyrody jest zarówno mózg ludzki, jak i zespół eksperymentów potwierdzających lub osłabiających określoną teorię. Skutkiem tego zagadkowa przydatność pojęć czystej matematyki do opisu konkretnych procesów daje się tłumaczyć tym, iż nawet najbardziej „czyste” dziedziny ludzkiej refleksji mają „podłoże stosowane”, uzależnione od zespołu uwarunkowań fizyczno-biologicznych kształtujących nasze myślenie.

Proponowane tłumaczenie efektywności matematyki w fizyce natrafia na tę zasadniczą przeszkodę, iż nie tłumaczy różnic między refleksją matematyczną a innymi typami refleksji. Fizyczno-biologiczne uwarunkowania pojawiają się wszak nie tylko w dziedzinie matematyki, lecz również w politologii, historiozofii, ekonomii czy metafizyce.
W każdej z wymienionych dziedzin refleksji znajduje odbicie kontekst sytuacyjny człowieka, horyzont jego potrzeb i ideałów, zainteresowań i aspiracji. Filogenetyczne tłumaczenie ludzkich zainteresowań teoretycznych nie wyjaśnia jednak, dlaczego status epistemologiczny np. trygonometrycznego twierdzenia cosinusów różni się zasadniczo od statusu historiozoficznych wizji idealnego społeczeństwa czy też od treści włączanych do filozoficznych traktatów o szczęściu. Bardziej naturalne wydaje się wszak przypuszczenie, iż w ludzkim poszukiwaniu prawdy dużo większą rolę odgrywa koncepcja ładu społecznego, czy przyjmowana powszechnie koncepcja sensu życia, niż szczegółowa informacja o wzajemnych związkach miedzy kątami trójkątów.

W sugerowanej perspektywie trudny do filogenetycznego wyjaśnienia pozostaje więc fakt, iż większości formuł matematyki przysługuje niewytłumaczona filogenetycznie absolutna pewność, natomiast interpretacje proponowane w dziedzinie nauk społecznych, politologii czy etyki mają jedynie wysoce hipotetyczny charakter. Czym tłumaczyć to, iż Werner Heisenberg mógł stosować do efektywnego opisu mikrozjawisk stworzoną, całkowicie niezależnie, Cayleyowską teorię macierzy, natomiast próby zastosowania do rozwoju społeczeństw Marksowskiej kategorii konieczności historycznej prowadzą do całkowicie surrealistycznych prognoz? Dlaczego przyroda pozwala stosować w mechanice falowej Hilbertowskie rozwinięcie operatorów całkowych i różniczkowych na funkcje własne, natomiast filozoficzne próby uzasadnienia jednolitej aksjologii i etyki grzęzną w dowolnościach? Nie można wskazać żadnych racji za tym, by w filogenetycznym rozwoju człowieka istotne miały okazać się prawdy matematyki, natomiast nieistotne twierdzenia i teorie innych dyscyplin. Podstawowym problemem wymagającym wyjaśnienia w filogenetycznej interpretacji pozostaje więc pytanie: Dlaczego uwarunkowane przez naturę mechanizmy wyróżniają poznanie matematyczne, dając
w nim wiedzę pewną, natomiast w innych dziedzinach poznania prowadzą jedynie do przypuszczeń i prawdopodobnych domysłów?

Jednym z możliwych rozwiązań ostatniego problemu byłoby przyjęcie, iż pewność twierdzeń matematyki stanowi wynik zarówno wysokiej abstrakcji, jak i ogólności tych twierdzeń. Abstrahowanie od konkretu uwarunkowań pozwala na przyjęcie ogólnych sformułowań, które nie mogą zostać obalone przez żaden zbiór danych empirycznych. Stąd też ogólne formuły matematyki mogą mieć różnorodne modele fizyczne, nie można natomiast wskazać dla nich kontrprzypadków. Sympatykiem podobnego pojmowania matematyki był przez pewien czas Bertrand Russell, gdy twierdził, iż fizyka mówi o rzeczywistości, ale jest niepewna; natomiast matematyka jest pewna, lecz nie mówi nic o rzeczywistości. Odkrycia lat trzydziestych naszego stulecia poważnie zachwiały jednak zarówno wcześniejsze przekonanie o pewności matematyki jako takiej, jak i arbitralną tezę głoszącą, iż matematyka nie mówi nic o rzeczywistości. Aby pewnik wyboru uznać za pewny, trzeba przyjąć szereg mocnych założeń epistemologicznych. Aby wierzyć, iż twierdzenie Gödla nie mówi nic o rzeczywistości, trzeba pojmować tę rzeczywistość w sposób wysoce wyrafinowany.

Stanowisko głoszące, iż efektywność i pewność matematyki wynika z abstrakcyjnego charakteru jej formuł, może wydawać się sugestywne przy intuicyjnym ujęciu. Dla abstrakcyjnej formuły „a = a” można wskazać dowolnie wiele modeli fizycznych. Jej prawdziwość stanowi następstwo jej ogólności. Gdyby w filozofii czy w literaturze ograniczyć się do odpowiedników twierdzeń o takim samym stopniu ogólności, otrzymalibyśmy wówczas zbiór twierdzeń, których nie sposób zakwestionować. Równocześnie jednak tak pojęta filozofia przekształciłaby się w zbiór banalnych ogólników typu „byt jest bytem, a niebytu nie ma”, zatracając swe funkcje poznawcze. Hipotezy i domysły, obecne
w każdej dziedzinie refleksji pozamatematycznej, pojawiają się w naszej wiedzy wraz z uwzględnieniem złożoności konkretnych warunków, których nie można w sposób jednoznaczny podporządkować uniwersalnym zasadom.

Sugerowany kierunek wyjaśniania zdaje się ignorować istotę matematycznego opisu przyrody. Trudności, jakie napotkał w początkach naszego stulecia logicyzm metamatematyczny, świadczą, iż matematyki nie można bynajmniej utożsamiać ze zbiorem tautologii typu „a = a” oraz związanymi z nim zasadami inferencji logicznych. Nie jest prawdą, iż matematyczny opis przyrody stanowi jedynie pustą pod względem informacyjnym konwencję językową. Najbardziej intrygującym elementem tego opisu pozostaje bowiem to, co H. Hertz wyraził słowami „równania wiedzą więcej niż rozwiązujący je fizycy”. Kiedy
w 1917 r. Albert Einstein rozwiązywał równania pola, wprowadził do nich człon lambda, bo nie rozumiał zawartej w równaniach informacji o ekspansji wszechświata. Trzeba było kilkunastu lat dodatkowych obserwacji astronomicznych, by zrozumieć, iż proste zmatematyzowane formuły fizyki relatywistycznej zawierają informację o procesach fizycznych, które doprowadziły do najgłębszych przemian w naszym obrazie świata. Nieporozumieniem okazuje się więc teza, iż matematyczność przyrody stanowi wynik tego, że formuły matematyki są informacyjnie puste i można je odnosić do dowolnej klasy zjawisk. Jednym z bardziej intrygujących przejawów efektywności matematycznego opisu
przyrody pozostaje bowiem to, iż opis ten umożliwia predykcję nowych typów zjawisk i zawiera naddatek informacji niemożliwy do uzyskania w zdroworozsądkowej charakterystyce badanej dziedziny zjawisk.

3. Matematyczność a przewidywalność

Intrygująca korespondencja między strukturami matematyki a strukturami istniejącymi w przyrodzie znajduje wyraz zarówno w możliwości predykcji nowych typów zjawisk, jak i w ilościowych przewidywaniach dalszego przebiegu ewolucji badanych układów. W początkach nauki nowożytnej najbardziej spektakularną ekspresję sukcesów nowej fizyki stanowiły predykcje ilościowe dotyczące położenia ciał niebieskich. Zanim Laplace rozwinął swój wariant determinizmu i przedstawił słynną koncepcję wszechwiedzącego demona, Newton szokował współczesnych wynikami czysto teoretycznych oszacowań, które narzucały konieczność zrewidowania wcześniejszych wyników obserwacji.

W biografii autora Principiów znajdujemy ciekawy epizod dotyczący jego współpracy z Johnem Flamsteedem, dyrektorem słynnego Obserwatorium z Greenwich. Podczas którejś z wizyt u Newtona Flamsteed został poinformowany, iż część uzyskanych przez niego wyników obserwacji wymaga ponownego przebadania, gdyż nie mogą być one poprawne, skoro nie zgadzają się z wynikami oszacowań teoretycznych, w których podstawową rolę odgrywała Newtonowska zasada grawitacji.

Po przeprowadzeniu dodatkowych obserwacji Flamsteed przekonał się, iż Newton miał rację, zaś błąd pierwotnych wyników wykraczał znacznie poza granice błędu dopuszczalne w praktyce pomiarowej. Nie bez oporów psychicznych musiał on uznać wyższość opinii teoretyka, który szczycił się tym, iż w swym życiu nie przeprowadzał żadnych obserwacji astronomicznych. Kiedy jednak ta sama sytuacja powtórzyła się jeszcze kilkakrotnie, skończyła się cierpliwość Flamsteeda. Pierwszy astronom królewski — pisze Imre Lakatos — nie mógł znieść ciągłych poniżeń, w których kwestionowano doskonałość jego pomiarów na gruncie czysto spekulatywnych przesłanek.

Sytuacji tej nie rozumiał w tym czasie nie tylko Flamsteed. Jeszcze 40 lat później George Berkeley w swym Discourse addressed to an Infidel Mathematician (1734) i w A Defence of Free-thinking in Mathematics (1735) wyrażał swój brak zaufania do matematycznych abstrakcji, w których lekceważy się rolę szczegółowych danych empirycznych. Powołując się na autorytet Leibniza, Berkeley krytykował „hipotezy matematyczne” fizyki Newtonowskiej utrzymując, iż hipotezom tym nie odpowiada nic „w naturze rzeczy”, gdyż — podobnie jak terminy „siła”, „przyciąganie” czy „grawitacja” stanowią one jedynie sztuczne wytwory ludzkiej abstrakcji. Są one ważne wyłącznie z racji pragmatycznych, gdyż „okazują się bardzo użyteczne dla teorii... i obliczeń”; poszukiwanie ich odpowiedników w rzeczywistym świecie „byłoby jednak przedsięwzięciem daremnym, podobnie jak poszukiwanie fikcji wprowadzonych w matematycznych abstrakcjach geometrów”.

Zdroworozsądkowa filozofia matematyki pociągała nie tylko Berkeleya; także współcześnie okazuje się ona niezmiennie atrakcyjna dla autorów podważających sensowność dyskusji o matematyczności przyrody. Problem w tym, iż ignorują oni rolę matematyki we współczesnej fizyce w podobny sposób, jak Berkeley ignorował doniosłość wyników teoretycznych uzyskanych przez Newtona i traktował aparat matematyczny wyłącznie jako instrument pragmatyki badawczej. Ujęcie takie, traktując matematykę wyłącznie jako język przydatny w opisie przyrody, nie tłumaczy, dlaczego zastosowanie matematycznego formalizmu pozwala na predykcje zarówno jakościowe, jak i ilościowe dotyczące przebiegu procesów fizycznych. Tymczasem możność formułowania zmatematyzowanych predykcji pozostaje głęboko niebanalną cechą przyrody, która wymaga racjonalnych wyjaśnień.

Tę szczególną rolę matematyki trafnie scharakteryzował Richard Feynman twierdząc, że „ci, którzy nie rozumieją matematyki, nie uświadamiają sobie piękna wszechświata”, tzn. nie potrafią zrozumieć istoty kosmicznej harmonii wyrażanej przez matematyczny formalizm teorii przyrodniczych. Podczas gdy w fizyce XVIII wieku uwaga poznawcza skupiona była na konkretnych obserwowalnych obiektach, w fizyce współczesnej uwagę badaczy koncentruje rzeczywistość symetrii, uniwersalnych praw, abstrakcyjnych relacji. Ukazują one swoisty „kod kosmiczny” czy „nomologiczną struktury przyrody”, której status można z wielu powodów porównywać do ontycznego statusu idei Platona. Opis przyrody w języku arytmetyki można było w przeszłości tłumaczyć przez przyjęcie odpowiedniości między dziedziną naszego doświadczenia a centralnym dla arytmetyki pojęciem liczby całkowitej. Możliwość taka skończyła się praktycznie po wprowadzeniu do fizyki rachunku różniczkowego. W obecnym stadium badań, kiedy istotne dla nowych teorii pojęcia funkcji falowej wszechświata, oscylacji próżni czy Feynmanowskiego całkowania po drogach wykraczają daleko poza granice ludzkiej wyobraźni, sytuacja uległa istotnej zmianie. Aparat matematyczny stosowany w tych ujęciach okazuje się niezmiennie efektywny, mimo trudności z wyobrażeniowym przedstawieniem badanych treści. Jest to jednak nie tylko przejaw doskonałości tego aparatu, lecz przede wszystkim oznaka zagadkowej „łaskawości” przyrody, która pozwala np. na efektywne stosowanie procedur abstrakcji i idealizacji.

Idealizacja a matematyzowalność

W celu przyporządkowania konkretnym procesom fizycznym abstrakcyjnych formuł matematyki, trzeba pominąć i uznać za nieistotne wiele aspektów badanej przyrody, koncentrując uwagę na niewielu aspektach uznanych za ważne dla badań naukowych. Procedura taka jest w metodologii nauk przyrodniczych opatrywana mianem idealizacji. Jej istota polega na tym, iż z praktycznie nieskończonego zbioru cech charakterystycznych C₁, C₂, ..., badanego układu U uważa się za istotny jedynie niewielki podzbiór cech C₁, C₂, ..., C_k, natomiast wpływ pozostałych własności C_k+1, C_k+2, ... pomija się jako nieistotny. We wszechświecie,
w którym przy opisie układów fizycznych nie dałoby się stosować idealizacji, trzeba byłoby uwzględniać rolę poszczególnych elementów składowych i badać wszystkie typy zależności między nimi. Gdyby nawet przyjąć bardzo mocne założenie, iż oddziaływania te mają charakter liniowy, dla dowolnego układu U złożonego z n elementów trzeba by uwzględnić 2 oddziaływań wewnątrzukładowych. Osobny problem komplikujący zagadnienie stanowiłyby wówczas oddziaływania z elementami zewnętrznymi.

Gdyby niemożliwe było stosowanie procedur idealizacyjnych, już przy układach złożonych z miliona elementów, która to liczba pozostaje niewspółmiernie mała w porównaniu z wielkością układów badanych w fizyce, chemii czy biologii, trzeba byłoby uwzględniać 10^301 030 oddziaływań. Prowadziłoby to do układu 10^301 030 równań różniczkowych i czyniło niemożliwym uprawianie nauki w jej obecnej postaci. Fakt możliwości stosowania idealizacji, uważany nierzadko za banalny składnik metody naukowej, ma więc wysoce nietrywialny charakter. Psychologiczne przyzwyczajenie do jego powszechnego stosowania nie może eliminować zadziwienia faktem, iż to właśnie uproszczone nierealistyczne warunki pozwalają na formułowanie poprawnego opisu matematycznego i na wyprowadzanie zadowalających predykcji. Istnieją dziedziny zjawisk fizycznych, w odniesieniu do których próby stosowania idealizacji natrafiły na zasadnicze trudności. Fenomen tzw. „wrażliwego chaosu” oraz trudności z teorią prognoz meteorologicznych dostarczają przykładów zjawisk, w których procesy uważane za nieistotne wpływają w sposób zasadniczy na ewolucję układu i nie mogą być pomijane w jego przyrodniczym studium. W kontekście nowych prac dotyczących tej tematyki jeszcze bardziej zadziwiający pozostaje fakt, iż w wielu dziedzinach nauki można efektywnie stosować idealizacje, które mają wyraźnie kontrfaktyczny charakter. Przy stosowaniu podobnych procedur przyroda zachowuje się tak, jak gdyby jedynym, istotnym przedsięwzięciem badawczym było uwzględnienie abstrakcyjnej i matematyzowalnej „matrycy” świata, natomiast większość obserwowanych cech była nieistotna poznawczo.

Możliwość stosowania idealizacji w badaniach nad przyrodą miała decydujący wpływ na powstanie nauki nowożytnej. Korzystał z niej Galileusz jeszcze wtedy, gdy — z braku dokładnych zegarów — mierzył prędkość w łokciach na uderzenie pulsu. Sam fakt, iż przy obserwacji spadających ciał istotne było ich przyśpieszenie, zaś nieistotny kolor czy jakość użytego materiału, posiadał decydujące znaczenie dla obalenia fizyki Arystotelesa i stworzenia nowej dynamiki. Gdyby Newton nie rozpatrywał wyidealizowanych dwuelementowych układów, lecz w imię urealistycznienia założeń uwzględniał wpływ wszystkich planet na oddziaływanie grawitacyjne Ziemi, prawo ciążenia nie zostałoby najprawdopodobniej odkryte przez niego. Badania przyrodnicze są możliwe dzięki temu, iż przyroda „pozwala” nam abstrahować od wielu swych cech, byśmy mogli ograniczyć uwagę badawczą do kilku istotnych aspektów opisywanych w języku matematyki.

Zagadkowej podatności przyrody na opis matematyczny nie można wyjaśnić ani przez czysto formalną (=syntaktyczną) analizę pojęć i struktur matematyki, ani przez uwzględnienie samych podmiotowych predyspozycji człowieka ukształtowanych przez jego rozwój filogenetyczny. Żadna z tych interpretacji nie wyjaśnia, dlaczego zachodzi zagadkowa korespondencja między zjawiskami przyrody a ich deskrypcją matematyczną, która nie ogranicza się bynajmniej do uogólnienia zarejestrowanych obserwacji, lecz zawiera naddatek informacji. Korespondencję tę można by tłumaczyć w duchu platońskim przyjmując, iż zarówno przyroda, jak i formuły matematyki stanowią dwie różne dziedziny modeli dla racjonalnych związków bliskich ideom Platona. Można również w sokratejskim duchu powtórzyć za Eugene Wignerem, iż matematyczność przyrody stanowi zagadkowy dar, którego nie jesteśmy w stanie zrozumieć ani wyjaśnić. Niewłaściwe wydaje się natomiast powtarzanie pozytywistycznej tezy, która głosi, iż zrozumieliśmy już, że w tzw. matematyczności przyrody nie ma niczego do zrozumienia, gdyż wchodzi tu w grę klasyczny pseudoproblem.

5. Wnioski

Rozbieżność opinii formułowanych w kontrowersjach wokół matematyczności przyrody wynika, przynajmniej częściowo, z głębokiego zróżnicowania treści łączonych z pojmowaniem podstawowych terminów. Różnorodność tych treści ma swą podstawę w różnorodności intrygujących filozoficznie przejawów zastosowania matematyki w fizycznym opisie świata. Zależnie od tego, który z tych przejawów uzna się za szczególnie ważny, otrzymujemy zróżnicowane koncepcje matematyczności przyrody. W przedstawionych rozważaniach za szczególnie istotne dla omawianego zagadnienia przyjąłem następujące cechy przyrody:

0. Podatność konkretnych procesów fizycznych na ich opis w języku abstrakcyjnych formuł matematyki. Najprostszej formy takiego opisu dostarcza arytmetyka elementarna, bardziej wyrafinowanych form — działy matematyki zamierzone przez twórców jako matematyka czysta.

1. „Kontaminacja” matematyki wyrażona w tym, iż jej działy zamierzone jako opracowania z zakresu matematyki czystej okazują się, niezależnie od intencji twórców, przydatne do opisu procesów fizycznych.

2. Heurystyczne funkcje formalizmu matematycznego prowadzące do konstrukcji nowych teorii fizykalnych, których nie można było wcześniej stworzyć bez przyjęcia nowego aparatu pojęciowego matematyki.

3. „Naddatek” semantyczny równań implikowanych przez teorię, które to równania zawierają treści wychodzące poza proste uogólnienie znanych obserwacji i umożliwiają tym samym predykcje nowych typów zjawisk.

4. Ilościowa korespondencja między zmatematyzowanymi formułami teorii fizykalnych a ich fizycznymi desygnatami. W wyniku tego możliwe są relatywnie dokładne predykcje ilościowe dotyczące ewolucji układów fizycznych.

5. Możliwość stosowania idealizacyjnych technik opisowych, w wyniku których pomija się pewne aspekty opisywanych układów fizycznych, koncentrując uwagę na relatywnie małej liczbie aspektów uznanych za istotne poznawczo.

Zarówno współczesne badania nad tzw. chaosem deterministycznym, jak i prace dotyczące wczesnych stadiów ewolucji wszechświata czynią prawomocnymi przypuszczenia o możliwości przyszłego odkrycia jakościowo nowych przejawów matematyczności przyrody. Zależnie od tego, jakie ograniczenia narzucane są przez przyrodę na stosowanie procedur idealizacyjnych oraz zależnie od możliwości rozróżnienia między poziomem relacji matematycznych i fizycznego „substratu”, mogą zostać odkryte nowe przejawy matematyczności przyrody. Sama struktura procesów fizycznych może więc ujawniać różne poziomy matematyczności świata, które dostarczą nowych pytań, podobnie jak Newtonowskie obliczenia torów planet czy Einsteinowskie rozważania nad członem lambda dostarczyły nowych przesłanek za matematycznością przyrody.

Czy w kontekście przedstawionych rozróżnień można wyobrazić sobie przyrodę, która byłaby niematematyczna? Jednoznaczna odpowiedź na to pytanie wymaga wcześniejszego przyjęcia konwenansów terminologicznych. Zależnie od tego, która z wymienionych wyżej cech (0—5) nie występowałaby w naukowym opisie przyrody, można by mówić o różnych wersjach niematematyczności w ściśle określonym sensie 0, 1, 2, ..., 5. Równocześnie jednak występowanie którejś z innych cech upoważniałoby do paralelnych wypowiedzi o matematyczności₀, matematyczności₁, etc.

Minimalny warunek wypowiedzi o rozumianej w ten sposób matematyczności stanowiłaby możliwość stosowania pojęć arytmetyki do procesów fizycznych. By warunek ten mógł być spełniony, konieczne wydaje się spełnienie zasady tożsamości, w której każdy z obiektów poddawanych operacjom matematycznym spełnia warunek „a = a”.
Skądinąd wiadomo, iż ostatni warunek nie jest spełniany w logice snów czy baśni. Osoby pojawiające się w snach mogą ulegać metamorfozie, autentyczny smok może okazać się autentyczną królewną. Nawet jednak treści naszych marzeń sennych charakteryzuje pewna logika wewnętrznych związków, jeśli nie na poziomie globalnym, to przynajmniej lokalnie. Korespondująca z nią logiczność śnionych zdarzeń dostarcza modelu świata, który nie byłby matematyczny w takim sensie, w jakim mówi się o matematyczności przyrody, ale równocześnie nie byłby światem całkowicie irracjonalnego chaosu, pojętego w tradycyjnym rozumieniu ostatniego terminu.

Osobnym zagadnieniem pozostaje kwestia, czy mogłaby istnieć przyroda podporządkowana logice snów. Jakakolwiek odpowiedź na to pytanie stanowiłaby wyraz wcześniejszych zadeklarowań (commitment) ontologicznych. Zależałaby ona również od założeń dotyczących dodatkowych czynników, gdyż np. można by wprowadzić model wszechświata, który lokalnie jest niematematyzowalny, stanowiąc chaotyczne fluktuacje przypadkowych zdarzeń, natomiast w skali globalnej daje się podporządkować pewnym uniwersalnym zasadom. Jeszcze bliższą intuicyjnie możliwość stanowiłby model, w którym wszechświat niematematyzowalny, lub wręcz niepoznawalny, w skali mikro, byłby matematyczny w skali makro. Alternatywną możliwość obrazowałby wszechświat „arytmetyzowalny”, w którym niemożliwe byłoby ani stosowanie idealizacji, ani też wprowadzanie ogólnych zmatematyzowanych formuł umożliwiających predykcje ilościowe.

Wspomniane czysto hipotetyczne możliwości sugerują wizję przyrody, której nie można by nazywać matematyczną w przyjmowanym obecnie rozumieniu tego terminu. Ułatwiają nam one zrozumienie filozoficznej doniosłości faktu, iż przyroda jest matematyzowalna oraz tego, iż jej opis matematyczny zawiera naddatek informacji o stanach fizycznych, które nie stanowiły przedmiotu wcześniejszych badań empirycznych. Refleksję nad doniosłością tego faktu zepchnięto na margines zainteresowań poznawczych w okresie wpływów pozytywizmu logicznego, kiedy to główną uwagę koncentrowano na nierealistycznych programach i sztucznie stwarzanych problemach. Odejście od pozytywistycznej koncepcji nauki stworzyło nowy klimat intelektualny, w którym rola matematyki w fizyce staje się tematem zainteresowań filozofów reprezentujących różnorodne i odległe tradycje.

Przedstawione wyżej propozycje wskazują, jakich treści nie należy łączyć z tezą o matematyczności przyrody. Teza ta nie ma mianowicie niczego wspólnego czy to z pitagorejską czy z okultystyczną metafizyką liczb. Nie należy jej również łączyć z deklaracją o możliwości wypracowania systemu logicznego, który opisywałby wszystkie aspekty rzeczywistości fizycznej. Dzięki odkryciu twierdzeń limitacyjnych istnienie takiego systemu wydaje się przynajmniej wysoce wątpliwe. Rozumiana ściśle matematyczność przyrody jest również niezależna od przekonań dotyczących możliwości przyszłej unifikacji lub znalezienia prostej matematycznej formuły opisującej strukturę świata. Nawet autorzy nastawieni sceptycznie do prac nad unifikacją, mimo powtarzania słów Pauliego: „co Bóg rozłączył, człowiek niech się nie waży łączyć”, uznają filozoficzny sens matematyczności przyrody. Uwzględnienie wskazanych wyżej zróżnicowań pozwala uniknąć niepotrzebnej straty czasu na wykazywanie, że przyroda nie jest jednak matematyczna.

Carl Stoermer napisał przed laty, iż matematyka przypomina arcydzieła literatury, zaś nasz duchowy dramat przejawia się w tym, że w naszej edukacji nie wychodzimy poza studium alfabetu, który jest konieczny do poznania tej literatury. Porównanie to nie oznacza identyfikowania matematyczności przyrody z jej literackością; podkreśla ono tylko, iż najbardziej istotne treści dotyczące matematycznego charakteru przyrody pozostają zazwyczaj niezauważone przy pragmatyczno-formalnym podejściu do matematyki dominującym w obecnym stylu myślenia.

Michał Heller, Co to znaczy, że przyroda jest matematyczna?>>

opr. aw/aw