Od Platona do Penrose'a

Roger Penrose w rozdziale kończącym opublikowane w 1994 roku Cienie umysłu⁽¹⁾ odwołuje się do Popperowskiej koncepcji trzech światów. Przedstawia jednak jej swoistą wersję. Wyróżnia świat fizyczny (physical world), odpowiadający Popperowskiemu światu 1, do którego należą obiekty i zjawiska fizyczne, np.: elektrony, planety, chmury, huragany, a także kwiaty, motyle, ludzkie mózgi i wreszcie sami ludzie. Odpowiednik świata 2 stanowi świat uświadomionych postrzeżeń (world of our conscious perceptions), który zawiera: percepcje barw, wspomnienia z dzieciństwa, uczucia szczęścia i bólu, miłość, rozumienie, lęk przed śmiercią itd.⁽²⁾ W końcu, dopełnienie stanowi platoński świat obiektów matematycznych (Platonic world of mathematic forms), do którego między innymi należą: liczby naturalne, sformułowane na gruncie geometrii Euklidesa twierdzenie Pitagorasa, geometrie nie-euklidesowe, działania maszyny Turinga, dla których ta nigdy się nie zatrzyma, komputacyjnie nierozwiązywalne problemy matematyki - jak na przykład zagadnienie nieokresowego pokrycia płaszczyzny Euklidesa płytkami wielobocznymi, równania elektromagnetyczne Maxwella, równania Einsteina i inne. Pomimo występowania części wspólnej, trzy światy Penrosea różnią się od światów Poppera, odmiennie przedstawiają się również relacje zachodzące pomiędzy poszczególnymi światami. Odzwierciedla się to najwymowniej w charakterystyce świata platońskiego, któremu autor Cieniów przypisuje istnienie wieczne, logicznie konieczne, niezależne od nas; uważa go za podstawę świata fizycznego. Dla przypomnienia, u Poppera świat 3 stanowi wytwór ludzki, który jedynie zyskał znaczny stopień autonomii. Stąd też, do zbioru jego obiektów należą zarówno literackie fikcje, jak i formy matematyczne. Penrose skłania się w swych analizach do uwzględnienia jedynie tych ostatnich. Nie wyklucza on jednak, że mogą doń należeć także idee niematamatyczne: Osobiście, nie mam nic przeciwko takiej możliwości, lecz nie odgrywa to istotnej roli w mych obecnych rozważaniach. Zagadnienia etyki, moralności i estetyki nie mają dużego znaczenia dla przedmiotu tej dyskusji, lecz nie istnieją racje, aby pozbywać się ich, traktując je jako, w istocie, nie tak "realne" jak te, o których tutaj mowa⁽³⁾.

2. TRZY TAJEMNICE TRZECH ŚWIATÓW⁽⁴⁾

Wyróżnienie trzech światów wiąże się z postawieniem pytania o to, co i w jaki sposób je łączy. Tę kwestię Penrose określa mianem trzech tajemnic. Nie jest w tym oryginalny. Chodzi o pytania, które każda generacja filozofów stawia na nowo, w oparciu o kontekst naukowy i kulturowy własnej epoki. Pierwsze zagadnienie sprowadza się do pytania o matematyczność przyrody, o istotną rolę, jaką odgrywają prawa matematyki w działaniu fizycznego świata⁽⁵⁾. Penrose podkreśla tu swój platonizm. Więcej wątpliwości, według autora Cieniów, wiąże się z pozostałymi pytaniami. Jedno z nich odnosi się do relacji pomiędzy światem fizycznym a światem stanów umysłu. W jaki sposób z materialnego podłoża mogą powstać treści świadomości?⁽⁶⁾ Wydaje się, że próba odpowiedzi na to pytanie wiąże się w ścisły sposób z wcześniejszym odwołaniem się do tradycji platońskiej. Wiara w istnienie praw, które rządziłyby działaniem mózgu tak, aby możliwa była świadomość, skłania Penrosea w dyskusji nad zagadnieniem matematycznego wglądu do poszukiwania warunków, jakie powinna spełniać postulowana teoria fizyczna. Krąg wątpliwości zostaje domknięty przez ostatnie z postawionych pytań: w jaki sposób ludzka świadomość może "stworzyć" idee matematyczne ze stanów umysłu?⁽⁷⁾

3. OBIEKTY "ŚWIATA 3"

Przyjęcie stanowiska platonizmu matematycznego, niezwykle ważne, co sam podkreśla, dla wywodów Penrosea, wynika w dużej mierze z jego znajomości matematyki. Egzemplifikację autonomii obiektów idealnych ma stanowić przeprowadzona na kartach Nowego umysłu konstrukcja i opis zbioru Mandelbrota. Ogromna złożoność tej struktury wiąże się z dużą prostotą definicji. Pisze o niej, iż wydaje się, że istnieje w sposób niezależny od naszych umysłów⁽⁸⁾, z czym wiąże się fakt niemożności jej kompletnego zbadania. Cechy: wyjątkowości, jednoznaczności i uniwersalności, większej, niż jakiegokolwiek obiektu bądź zjawiska występującego w sztuce czy technice, a także elegancja form matematycznych mają wzmacniać argumentację za ich wieczną, niematerialną egzystencją. Penrose konkluduje: Jak już powiedziałem, istnieją pewne obiekty matematyczne, o których należałoby raczej powiedzieć, że zostały odkryte, nie zaś wymyślone. Ich struktura jest o wiele bogatsza i daje znacznie więcej wyników, niż można by sądzić na podstawie początkowych założeń⁽⁹⁾.

Niektóre z obiektów świata 3 Penrosea w szczególny sposób odnoszą się do rzeczywistości fizycznej, wykraczając swą egzystencją poza zakres idealnego świata. Warto zatem uważniej przyjrzeć się tym z obiektów świata 3, które jednocześnie funkcjonują jako teorie fizyczne. Może to ułatwić zrozumienie motywów, które skłoniły Penrosea do opowiedzenia się za platonizmem, a także przybliżyć do tego, jak pojmuje on wzajemne oddziaływania pomiędzy światem form matematycznych a światem fizycznym.

4. DOSKONAŁE TEORIE RZECZYWISTEGO ŚWIATA

Autor Nowego umysłu wprowadza swoistą klasyfikację teorii fizycznych⁽¹⁰⁾. Wyróżnia: teorie doskonałe, teorie użyteczne oraz teorie próbne. Każda z tych kategorii doczekuje się swojej egzemplifikacji. Miano teorii doskonałych zyskują: geometria euklidesowa, którą traktuje jako fizyczną teorię przestrzeni i ciał sztywnych, statyka, mechanika Newtona, elektrodynamika Maxwella, szczególna teoria względności, ogólna teoria względności, mechanika kwantowa i elektrodynamika kwantowa. Teorie użyteczne to m.in.: geocentryczny układ Ptolemeusza, kwarkowa teoria hadronów czy teoria wielkiego wybuchu. Do teorii próbnych, które dotychczas nie uzyskały empirycznego potwierdzenia miałyby należeć: teorie typu Kaluzy-Kleina, teoria superstrun, a także opracowywana przez samego Penrosea teoria twistorów.

Powyższa dystynkcja zostaje przeprowadzona w oparciu o trzy kryteria. I tak, doskonałe teorie powinna charakteryzować duża dokładność, znaczący zakres stosowalności oraz wyrażająca je postać matematyczna - ta cecha stanowi bezpośrednie odniesienie do platońskiego świata obiektów matematycznych. Wprowadzone określenia poddane zostają precyzacji: mechanika Newtona w zastosowaniu do ruchu planet pozwala na przewidywania, których błąd jest mniejszy niż 10^-7, dokładność obliczeń momentu magnetycznego w oparciu o równania elaktrodynamiki kwantowej sięga rzędu 10^-10, a zgodność przewidywań teorii Einsteina z wynikami obserwacji "podwójnego pulsara" daje względny błąd wielkości około 10^-14. Reguły mechaniki kwantowej opisują zarówno fizyczny mikroświat, jak i cały fizyczny wszechświat. Maxwellowskie równania obowiązują dla odległości porównywalnych z wielkością cząstek elementarnych, ale także i tych odpowiadających rozmiarom całych galaktyk. Również i równania mechaniki klasycznej skutecznie odnoszą się do ruchu ciał na Ziemi oraz ruchu całych planet.

Ujmując razem trzy cechy doskonałej teorii, można by przyjąć, że jej konfrontacja z danymi empirycznymi opisuje sposób, w jaki postać matematyczna (platońska forma matematyczna) oddziałuje z obiektami świata fizycznego. Duży zakres stosowalności charakteryzuje odniesienie jednego idealnego obiektu do różnorodnych obiektów fizycznych. Stopień "zestrojenia" dwóch światów ma oddawać duża dokładność.

Okazuje się jednak, że jeszcze jedna cecha stanowi własność doskonałych teorii fizycznych. Charakteryzując geometrię Euklidesa, Penrose wypowiada zdanie, że w żadnym razie nie jest logiczną koniecznością; jest jednak faktem empirycznym, że opisuje ona dokładnie, choć nie idealnie, strukturę fizycznej przestrzeni! Geometria euklidesowa była w istocie od samego początku doskonałą teorią fizyczną, jednocześnie będąc eleganckim i logicznym działem czystej matematyki⁽¹¹⁾. Taka wypowiedź stała się możliwa dopiero po opublikowaniu prac Łobaczewskiego, Gaussa, Schweickarda i Bolyaia. Powstanie geometrii nie-euklidesowych umożliwiło zrewidowanie wcześniejszych poglądów na temat zagadnienia przestrzeni fizycznej, a także dostarczyło istotnych danych do lepszego poznania statusu obiektów świata 3, ich relacji do fizycznej rzeczywistości. Jeżeli geometria Euklidesa "staje się" jedną z wielu skutecznie opisujących świat 1, to trudno wyrokować o jej konieczności. Sam rozwój matematyki zmienia rozumienie i interpretację znaczenia jej struktur. Penrose polemizuje z poglądami Kanta o posiadaniu przez nas wrodzonego i intuicyjnego wyczucia geometrii euklidesowej. Po pierwsze, geometria ta istnieje niezależnie od nas (stanowi więc, raczej rzecz-w-sobie, niż aprioryczną kategorię poznawczą). Po drugie, nie charakteryzuje jej konieczność logiczna w odniesieniu do świata 1. Jedyna znana za czasów Kanta geometria została uznana za jedyną w ogóle.

Przeświadczenie o niekoniecznej (w odniesieniu do świata 1) egzystencji platońskich bytów w ciekawy sposób koresponduje z poglądem na temat statusu całego świata 3: Moim zdaniem, świat form idealnych jest podstawowy (jak wierzył Platon) - a jego istnienie prawie stanowi logiczną konieczność - zaś dwa pozostałe światy są jego cieniami⁽¹²⁾. Konieczny świat 3 staje się w odniesieniu do świata 1 swego rodzaju światem możliwości!

5. A JEDNAK PLATON!

Refleksja nad rozwojem nauki skłania Penrosea do oddania Platonowi szczególnego szacunku. Wzmocnieniu wiary w istnienie idealnego świata towarzyszy odkrywanie jego nowych cech.

Dzięki jakiemuś cudownemu wglądowi w istotę problemu Platon zdołał dostrzec, mimo iż wtedy miał do tego bardzo wątłe podstawy, że z jednej strony matematykę należy studiować dla niej samej i nie można wymagać, aby jej pojęcia stosowały się ściśle do obiektów poznawanych empirycznie; z drugiej zaś strony działanie rzeczywistego świata zewnętrznego można ostatecznie zrozumieć tylko w kategoriach ścisłej matematyki, to znaczy za pomocą obiektów z platońskiego idealnego świata, poznawalnego na drodze intelektualnej!⁽¹³⁾

Przypisy: