Wprowadzenie i strukturalizm matematyczny

ks. prof. Michał Heller FILOZOFIA NAUKI ISBN: 978-83-927267-7-7 wyd.: Wydawnictwo PETRUS 2008

Wybrane fragmenty Przedmowa do drugiego wydania Wprowadzenie Strukturalizm matematyczny Rewolucje czy ciągłość rozwoju? Dwa rodzaje strukturalizmu Strukturalizm a metoda współczesnej fizyki

1. Wprowadzenie

Niekiedy słyszy się zdanie, że największym osiągnięciem nauki jest jej matamatyczno-empiryczna metoda. Nie tylko jestem skłonny zgodzić się z tym zdaniem, ale sądzę, że sama matematyczno-empiryczna metoda badania świata niesie już pewną informację o świecie. Celem mojego wystąpienia będzie ujawnienie tej informacji. Uczynię to w następujących etapach:

• Najpierw przedstawię matematykę jako naukę o strukturach: świat odkrywany (czy konstruowany?) przez matematyków jest światem abstrakcyjnych struktur i relacji pomiędzy strukturami.
• Następnie zwrócę uwagę na fakt, że w fizyce wykorzystuje się niektóre matematyczne struktury do modelowania fizycznego świata. Wprawdzie sam ten fakt jest raczej oczywisty, ale sposób, w jaki matematyczne struktury wykorzystuje się do modelowania świata, prowadzi do interesujących wniosków.
• Najważniejszym z nich jest to, że świat odkrywany (a może konstruowany?) przez fizyków jest światem matematycznych struktur interpretowanych jako struktury świata.

Ten ostatni wniosek stanowi właśnie informację o świecie zawartą w samej matematyczno-empirycznej metodzie. Jeżeli w świecie istnieje coś oprócz struktury, to to coś jest przezroczyste dla matematyczno-empirycznej metody badania świata.

Tego typu "strukturalistyczna filozofia fizyki" nie jest niczym zaskakująco nowym. Od dawna mówiło się, że fizyka jest nauką o oddziaływaniach. Na przykład słowo "elektron" nie określa żadnej "rzeczy"; jest tylko skrótowym wyrażeniem na określenie wszystkich oddziaływań pewnego typu. Pomiar w fizyce też nie jest niczym innym, jak tylko oddziaływaniem pomiędzy przyrządem pomiarowym a tym, co się mierzy. A układ oddziaływań to właśnie struktura.

Wyżej naszkicowane trzy etapy dochodzenia do końcowego wniosku stanowią również plan mojego wystąpienia.

2. Strukturalizm matematyczny

Trudno byłoby zidentyfikować matematyka, który pierwszy użył terminu "struktura" na określenie tego, czym zajmuje się matematyka. Dziś takie określenie stało się obiegowe. Pogłębione studium matematyki, zwłaszcza geometrii, stwarza nieodparte wrażenie, że w tej dziedzinie nauki istotnie mamy do czynienia z czymś, czemu najlepiej odpowiada słowo "struktura". Nic zatem dziwnego, że strukturalistyczne idee pojawiły się na marginesie rozważań o matematyce na długo zanim stały się oficjalnym stanowiskiem w filozofii matematyki. Metody strukturalistyczne dokonały prawdziwą inwazję na matematykę w (zwłaszcza wczesnych) pracach Bourbakiego. Wyraźne ślady filozofii strukturalistycznej można znaleźć w pismach Hilberta, Bernaysa i Quine'a, ale za twórcę strukturalizmu w filozofii matematyki uważa się Michaela Resnika. Jego zdaniem, w matematyce nigdy nie mamy do czynienie z obiektami wyposażonymi w "wewnętrzne własności" lecz zawsze tylko ze strukturami. Obiekty, jeżeli pojawiają się w matematyce, to tylko jako "miejsca" w strukturach. Poza strukturami obiekty są pozbawione jakiejkolwiek indywidualności.

Strukturalizm matematyczny, rozumiany na poziomie intuicyjnym, nie budzi większych emocji. Problemy zaczynają się wówczas, gdy chce się mu nadać bardziej techniczne znaczenie.

Przykładem typowego obiektu matematycznego jest liczba naturalna. W jaki sposób liczbę naturalną można rozumieć jako strukturę lub miejsce w strukturze? Paul Bennacerraf zauważa, że liczbę "3" można identyfikować z różnymi obiektami (np. z {{{0}}} w reprezentacji Zermelo lub z {0,{0},{{0}}} w reprezentacji von Neumanna), byle tylko pewne cechy strukturalne były zachowane. Zainteresowanie matematyka poza te cechy nie sięga.

Matematyczny strukturalizm często utożsamia się z matematycznym platonizmem - tak czyni np. Resnik w swoim podstawowym artykule, ale np. Steward Shapiro przeciwnie - wykorzystuje strukturalizm, by zwalczać platonizm.

Ścisłą definicję struktury podaje się w algebrze abstrakcyjnej. Strukturę rozumie się tam jako dziedzinę, ewentualnie z wyróżnionymi elementami, w której zdefiniowane są pewne relacje lub funkcje, spełniające właściwe aksjomaty. Przykładami takich struktur są: grupa, przestrzeń wektorowa, moduł, algebra liniowa. Gdy jednak chcemy wykorzystać taką definicję struktury do uściślenia strukturalizmu jako kierunku w filozofii matematyki, natychmiast natrafiamy na trudność: definicje dziedziny, relacji i funkcji zakładają pojęcie zbioru, nie można ich zatem wykorzystać do wyeliminowania teorii zbiorów z podstaw matematyki.

Naturalnym wyjściem z tej sytuacji wydaje się odwołanie do teorii kategorii. Jeden z twórców teorii kategorii, S. MacLane początkowo wyrażał przekonanie, że teoria ta będzie w stanie dostarczyć ścisłe podstawy matematyce, stanowiąc pod tym względem konkurencję dla teorii mnogości. W późniejszych pracach, gdy stało się już jasnym, że nadzieje te były zbyt wygórowane, MacLane złagodził swoje stanowisko. Jego zdaniem, chociaż teoria kategorii nie dostarcza podstaw matematyce, to jednak wyjaśnia, dlaczego matematyka jest pozbawiona podstaw (ma więc "foundational significance"). Organizuje ona mianowicie całą matematykę w jedną wielką strukturę struktur i w ten sposób ujawnia, że przedmiotem matematyki jest "struktura i morfologia". W związku z tym MacLane mówi o "Protean structure of mathematics".

Strukturalistyczna interpretacja matematyki ma dobre ugruntowanie w praktyce matematycznej, ale z chwilą gdy chcemy sformułować ją rygorystycznie, natrafiamy na poważne trudności. Można wyróżnić słabą i mocną wersję strukturalizmu matematycznego. Wedle słabej wersji, obiekty matematyczne istnieją jedynie jako "miejsca w strukturze" i poza strukturą są pozbawione sensu. Wedle mocnej wersji, istnienie struktury w ogóle nie wymaga istnienia obiektów. W dalszym ciągu pominiemy spór między słabą i silną wersją strukturalizmu i naszą argumentację będziemy budować jedynie w oparciu o tezę, że matematyka jest nauką o "strukturach i ich morfologii".

dalej >>

opr. aw/aw