Historyczne i współczesne kierunki w filozofii matematyki

Roman Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, Warszawa, PWN 1995, s. 239.

Ta niezbyt duża książka powinna zainteresować zarówno matematyków, jak i filozofów, zwłaszcza zajmujących się filozofią nauki. Autor - jako motto - umieszcza na samym początku swej pracy słowa G. Fregego: "Filozof, który zupełnie nie zna geometrii, jest tylko półfilozofem, zaś matematyk, któremu brak żyłki filozoficznej, jest tylko półmatematykiem". Książka - w intencji Autora - jest próbą wypełnienia luki, jaka w literaturze przedmiotu istnieje nie tylko na polskim rynku wydawniczym. Jest to zwięzłe, syntetyczne opracowanie, przedstawiające podstawowe wyniki filozoficznej refleksji nad matematyką w ujęciu historycznym.

Filozofia matematyki bywała dawniej uprawiana głównie przez filozofów. Jednak, jak zaznacza Autor we Wstępie, dziś jest domeną przede wszystkim matematyków. Powodem tego jest szybki rozwój wiedzy matematycznej i specjalizacji w tej dziedzinie, który sprawia, że problemy związane z filozofią matematyki stają się w pełni zrozumiałe tylko dla fachowców - matematyków. Autor jest takim właśnie fachowcem - jako profesor Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu zajmuje się w swej pracy naukowej głównie logiką matematyczną i podstawami matematyki. Pracuje także w dziedzinie historii logiki i jest autorem publikacji Filozofia matematyki. Antologia tekstów klasycznych, Poznań (1986 i 1994), do której odwołuje się często w omawianej tu książce.

Prof. Murawski już we Wstępie szkicuje dwa wzorce uprawiania matematyki, czyli dwa paradygmaty, które wyznaczają w dziejach matematyki dwa zasadnicze okresy jej rozwoju. Są to: paradygmat Euklidesa, który funkcjonował od początku IV wieku p.n.e. do końca XIX wieku, oraz paradygmat logiczno-teoriomnogościowy, obowiązujący w matematyce obecnie. W pierwszym okresie matematyka była uprawiana jako system quasi-aksjomatyczny, tzn. w zamierzeniu aksjomatyczny, jednak w rzeczywistości lista aksjomatów bywała często daleka od kompletności, a w rozumowaniu dowodowym występowały luki. Często odwoływano się przy tym do intuicji i prawd "oczywistych". Jako język matematyki bywał stosowany nieprecyzyjny język oparty na języku potocznym. Już w XIX wieku zaczął się kształtować nowy paradygmat logiczno-teoriomnogościowy. Paradygmat ten, obowiązujący w matematyce XX-wiecznej, uczynił teorię mnogości podstawową dyscypliną całej matematyki, obecną u podstaw wszystkich innych teorii (na gruncie teorii mnogości można rozwinąć całą matematykę). Język matematyki został wyraźnie wyodrębniony i precyzyjnie uporządkowany. Obowiązuje ścisłość definicji, precyzja dowodu, a wszystkie teorie matematyczne zostały zaksjomatyzowane. Wysiłek matematyków jest w dużej mierze skierowany na zagadnienia podstaw matematyki.

Te dwa okresy rozwoju matematyki zaznaczają się w logicznym układzie pracy prof. Murawskiego. Książka składa się z dwóch części o odmiennym charakterze oraz Dodatków. W Części I, zatytułowanej Poprzednicy współczesnych stanowisk, Autor przedstawił całą gamę poglądów na matematykę: od starożytności po przełom wieków XIX i XX. W tej części tytułami rozdziałów są po prostu nazwiska wybranych filozofów i matematyków. Rozdziałów jest 15: Przed Platonem, Platon, Arystoteles, Euklides, Proklos, Mikołaj z Kuzy, Kartezjusz, Blaise Pascal, Gottfried Leibniz, Immanuel Kant, Bernard Bolzano, John Stuart Mill, Richard Dedekind, George Cantor, Henri Poincaré. Trzy ostatnie nazwiska z tej listy należą już do matematyków, których prace w dziedzinie podstaw matematyki przyczyniły się do ukształtowania paradygmatu logiczno-teoriomnogościowego. Część II książki nosi tytuł Współczesne kierunki w filozofii matematyki. Układ materiału jest tu inny: Autor omawia w poszczególnych rozdziałach zasadnicze kierunki we współczesnej filozofii matematyki: Logicyzm, Intuicjonizm i prądy konstruktywistyczne, Formalizm. Ostatni rozdział drugiej części książki nosi tytuł Nowe prądy w filozofii matematyki. Na końcu książki Autor umieścił trzy dość obszerne "Dodatki": Z filozoficznych problemów teorii mnogości, Kilka uwag o filozofii geometrii oraz Krótkie biogramy. W tym ostatnim Autor umieścił 38 zwięzłych notek biograficznych dotyczących wybranych myślicieli - filozofów i matematyków, pracujących w dziedzinie podstaw matematyki.

Lektura książki prof. Murawskiego nie wymaga głębszego przygotowania matematycznego. Filozofia matematyki napisana jest przystępnie, Autor zakłada u czytelnika jedynie znajomość podstawowej terminologii filozoficznej i podstawowych pojęć logiki matematycznej. Jest rzeczą zrozumiałą, że lektura staje się nieco trudniejsza w części omawiającej współczesne problemy filozofii matematyki. Ale i tu Autorowi udało się pogodzić przystępność z merytoryczną wartością wykładu. Dla czytelnika słabo orientującego się w problematyce matematycznej być może najtrudniejszym fragmentem lektury okaże się Dodatek I, omawiający filozoficzne problemy teorii mnogości. Wynika to jednak z samego charakteru zagadnień, poruszanych w tej części książki.

W Części I Autor na 59 stronach zmieścił 15 rozdziałów. Rozdziały te zawierają bardzo zwięzłe przedstawienie poglądów poszczególnych filozofów i matematyków. Prof. Murawski dokonał wyboru tych myślicieli, którzy do filozofii i metodologii matematyki wnieśli istotnie nowe idee. Czytelnik napotka tu mozaikę poglądów, przy czym Autor stara się unikać ocen (co wyraźnie zaznacza w Przedmowie) i nie daje - przynajmniej w tej części książki - podsumowania, które by ukazało ewolucję zasadniczych idei w ciągu wieków. Powiązanie elementów mozaiki w jeden spójny obraz Autor pozostawia czytelnikowi (zarys ewolucji pojęć dotyczących nieskończoności, zbiorów i geometrii znajdzie jednak czytelnik w Dodatkach I i II). Uderzył mnie brak wśród nazwisk, stanowiących tytuły rozdziałów tej części książki, nazwisk Galileusza, a zwłaszcza Izaaka Newtona. W rozdziale poświęconym Leibnizowi nie spotkałem wzmianki o stworzonym przez niego - niezależnie od Newtona - rachunku różniczkowym i całkowym (jest tylko bardzo ogólne stwierdzenie, że obok osiągnięć filozoficznych Leibniz wniósł istotny wkład do samej matematyki). Widocznie Autor, jako matematyk i filozof matematyki, nie interesuje się zastosowaniami matematyki do badania fizycznego świata.

Część II książki, dotycząca współczesnych problemów w filozofii matematyki, jest obszerniejsza (77 stron) i zawiera dość szczegółowe omówienie trzech zasadniczych kierunków, które powstały z końcem XIX w. i w wieku XX w wyniku intensywnego rozwoju logiki matematycznej i teorii mnogości, a także jako reakcja na tzw. drugi kryzys podstaw matematyki - wynikły z pojawienia się antynomii na terenie Cantorowskiej teorii mnogości. Autor omawia kolejno:

1. Logicyzm - związany przede wszystkim z nazwiskami G. Fregego, G. Peano, B. Russella i A. N. Whiteheada. Prof. Murawski przedstawia powstanie logicyzmu oraz teorię typów, będącą próbą uwolnienia matematyki od antynomii. Logicyzm, który usiłował sprowadzić całą matematykę do logiki, dokonał właściwie zdaniem Autora czegoś innego: redukcji matematyki do teorii mnogości.

2. Intuicjonizm i prądy konstruktywistyczne. Twórcą intuicjonizmu był L. E. J. Brouwer, kontynuatorami jego idei A. Heyting i A. S. Troelstra - Autor omawia dość szczegółowo ich poglądy. W drugim paragrafie rozdziału, poświęconym prądom konstruktywistycznym, tytuły poszczególnych punktów są dobrą ilustracją przedstawionych stanowisk: Finityzm, Ultraintuicjonizm, Predykatywizm, Klasyczna i konstruktywna matematyka rekurencyjna, Konstruktywizm Bishopa, Mostowskiego stopnie konstruktywności. Autor poświęca więc intuicjonizmowi i konstruktywizmowi sporo miejsca, choć są to poglądy, mocno ograniczające dopuszczalną problematykę matematyczną.

3. Formalizm - w tym rozdziale znajdziemy omówienie programu Hilberta i ograniczenia w jego realizacji wynikające z twierdzeń o niezupełności (twierdzenia G÷dla).

4. Nowe prądy w filozofii matematyki. Prof. Murawski przedstawia tu najpierw prace Quine'a, Godla i Wittgensteina. Z pewnym zdziwieniem spotkałem w trakcie lektury tego rozdziału całe dwie strony poświęcone poglądom na matematykę klasyków marksizmu i współczesnych marksistów. Następnie Autor omawia nowe próby spojrzenia na matematykę, które starają się uniknąć jednostronności klasycznych koncepcji matematyki: analizę niesformalizowanej matematyki w wydaniu I. Lakatosa (tzw. quasi-empirycyzm), koncepcję R. L. Wildera matematyki jako systemu kulturowego, propozycję R. Hersha (będącą syntezą poglądów Lakatosa i Wildera) oraz tzw. matematykę intensjonalną.

Z Dodatków umieszczonych na końcu książki najobszerniejszy jest pierwszy, przedstawiający filozoficzne problemy fundamentalnej teorii współczesnej matematyki - teorii mnogości. Znajdziemy tu szkic historycznego rozwoju pojęcia nieskończoności i pojęcia zbioru, Autor porusza problem sposobu istnienia zbiorów, następnie przedstawia rozwój teorii mnogości, jej aksjomatyzację i związane z tym problemy. Wydaje się, że badania w tej dziedzinie są właściwą drogą do zapewnienia pewności i niesprzeczności poznaniu matematycznemu.

Prof. Murawski pisze we Wstępie do swej książki: "Wśród problemów rozważanych przez filozofię matematyki można wyróżnić kwestie ontologiczne i epistemologiczne". Do tej drugiej grupy zagadnień Autor zalicza także problemy metodologiczne. Wydaje się, że tym kwestiom, a zwłaszcza problemom metodologicznym w matematyce, prof. Murawski przyznał w swej pracy więcej miejsca, szczególnie przy omawianiu kierunków współczesnych. Może właśnie dlatego Autor w Części II pomija zagadnienie platonizmu we współczesnej matematyce, choć platoński realizm uznający niezależne od naszego poznania istnienie obiektów matematycznych, które raczej "odkrywamy" i "zastajemy" niż "konstruujemy", jest stanowiskiem wśród dzisiejszych matematyków dość częstym (platonizm jest jednak zaprezentowany w Dodatku I jako jedno ze stanowisk w kwestii istnienia zbiorów).

W Przedmowie książki prof. Murawskiego spotkałem takie zdanie: "Czytelnik z pewnością domyśli się w trakcie lektury, że autor jest matematykiem i logikiem - stąd tyle w książce odniesień do logiki i matematyki". Jest to rzeczywiście w trakcie lektury dobrze widoczne. Z jednej strony jest to duży pozytyw tej książki: Autor wie, o czym pisze. Zagadnienia z dziedziny podstaw matematyki i metamatematyki, zwłaszcza te, które szczególnie interesują filozofa matematyki, są mu dobrze znane. Z drugiej strony czytelnik o szerszych zainteresowaniach filozoficznych, nie ograniczonych do problemów metodologii samej matematyki, może odczuć pewne braki omawianej książki, wynikające zapewne właśnie z faktu, że Autor jest bardziej matematykiem niż filozofem: w szczególności prof. Murawski pomija zupełnie bardzo interesujące zagadnienie skuteczności matematyki w badaniu fizycznej rzeczywistości świata. To, że "przyroda jest matematyczna", że metoda matematyczno-empiryczna od momentu swego powstania odnosi tak niezwykłe rezultaty, a sama matematyka wydaje się być wręcz tworzywem fizycznego świata, jest interesujące nie tylko dla filozofa przyrody. Także filozof matematyki, stawiając pytania o przedmiot matematyki i sposób istnienia obiektów badanych przez matematykę, powinien chyba uwzględnić te kwestie.

opr. jk/ab