Historyczne i współczesne kierunki w filozofii matematyki

Recenzja: Roman Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, Warszawa, PWN 1995, s. 239.

Roman Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, Warszawa, PWN 1995, s. 239.

Ta niezbyt duża książka powinna zainteresować zarówno matematyków, jak i filozofów, zwłaszcza zajmujących się filozofią nauki. Autor - jako motto - umieszcza na samym początku swej pracy słowa G. Fregego: "Filozof, który zupełnie nie zna geometrii, jest tylko półfilozofem, zaś matematyk, któremu brak żyłki filozoficznej, jest tylko półmatematykiem". Książka - w intencji Autora - jest próbą wypełnienia luki, jaka w literaturze przedmiotu istnieje nie tylko na polskim rynku wydawniczym. Jest to zwięzłe, syntetyczne opracowanie, przedstawiające podstawowe wyniki filozoficznej refleksji nad matematyką w ujęciu historycznym.

Filozofia matematyki bywała dawniej uprawiana głównie przez filozofów. Jednak, jak zaznacza Autor we Wstępie, dziś jest domeną przede wszystkim matematyków. Powodem tego jest szybki rozwój wiedzy matematycznej i specjalizacji w tej dziedzinie, który sprawia, że problemy związane z filozofią matematyki stają się w pełni zrozumiałe tylko dla fachowców - matematyków. Autor jest takim właśnie fachowcem - jako profesor Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu zajmuje się w swej pracy naukowej głównie logiką matematyczną i podstawami matematyki. Pracuje także w dziedzinie historii logiki i jest autorem publikacji Filozofia matematyki. Antologia tekstów klasycznych, Poznań (1986 i 1994), do której odwołuje się często w omawianej tu książce.

Prof. Murawski już we Wstępie szkicuje dwa wzorce uprawiania matematyki, czyli dwa paradygmaty, które wyznaczają w dziejach matematyki dwa zasadnicze okresy jej rozwoju. Są to: paradygmat Euklidesa, który funkcjonował od początku IV wieku p.n.e. do końca XIX wieku, oraz paradygmat logiczno-teoriomnogościowy, obowiązujący w matematyce obecnie. W pierwszym okresie matematyka była uprawiana jako system quasi-aksjomatyczny, tzn. w zamierzeniu aksjomatyczny, jednak w rzeczywistości lista aksjomatów bywała często daleka od kompletności, a w rozumowaniu dowodowym występowały luki. Często odwoływano się przy tym do intuicji i prawd "oczywistych". Jako język matematyki bywał stosowany nieprecyzyjny język oparty na języku potocznym. Już w XIX wieku zaczął się kształtować nowy paradygmat logiczno-teoriomnogościowy. Paradygmat ten, obowiązujący w matematyce XX-wiecznej, uczynił teorię mnogości podstawową dyscypliną całej matematyki, obecną u podstaw wszystkich innych teorii (na gruncie teorii mnogości można rozwinąć całą matematykę). Język matematyki został wyraźnie wyodrębniony i precyzyjnie uporządkowany. Obowiązuje ścisłość definicji, precyzja dowodu, a wszystkie teorie matematyczne zostały zaksjomatyzowane. Wysiłek matematyków jest w dużej mierze skierowany na zagadnienia podstaw matematyki.

Te dwa okresy rozwoju matematyki zaznaczają się w logicznym układzie pracy prof. Murawskiego. Książka składa się z dwóch części o odmiennym charakterze oraz Dodatków. W Części I, zatytułowanej Poprzednicy współczesnych stanowisk, Autor przedstawił całą gamę poglądów na matematykę: od starożytności po przełom wieków XIX i XX. W tej części tytułami rozdziałów są po prostu nazwiska wybranych filozofów i matematyków. Rozdziałów jest 15: Przed Platonem, Platon, Arystoteles, Euklides, Proklos, Mikołaj z Kuzy, Kartezjusz, Blaise Pascal, Gottfried Leibniz, Immanuel Kant, Bernard Bolzano, John Stuart Mill, Richard Dedekind, George Cantor, Henri Poincaré. Trzy ostatnie nazwiska z tej listy należą już do matematyków, których prace w dziedzinie podstaw matematyki przyczyniły się do ukształtowania paradygmatu logiczno-teoriomnogościowego. Część II książki nosi tytuł Współczesne kierunki w filozofii matematyki. Układ materiału jest tu inny: Autor omawia w poszczególnych rozdziałach zasadnicze kierunki we współczesnej filozofii matematyki: Logicyzm, Intuicjonizm i prądy konstruktywistyczne, Formalizm. Ostatni rozdział drugiej części książki nosi tytuł Nowe prądy w filozofii matematyki. Na końcu książki Autor umieścił trzy dość obszerne "Dodatki": Z filozoficznych problemów teorii mnogości, Kilka uwag o filozofii geometrii oraz Krótkie biogramy. W tym ostatnim Autor umieścił 38 zwięzłych notek biograficznych dotyczących wybranych myślicieli - filozofów i matematyków, pracujących w dziedzinie podstaw matematyki.

Lektura książki prof. Murawskiego nie wymaga głębszego przygotowania matematycznego. Filozofia matematyki napisana jest przystępnie, Autor zakłada u czytelnika jedynie znajomość podstawowej terminologii filozoficznej i podstawowych pojęć logiki matematycznej. Jest rzeczą zrozumiałą, że lektura staje się nieco trudniejsza w części omawiającej współczesne problemy filozofii matematyki. Ale i tu Autorowi udało się pogodzić przystępność z merytoryczną wartością wykładu. Dla czytelnika słabo orientującego się w problematyce matematycznej być może najtrudniejszym fragmentem lektury okaże się Dodatek I, omawiający filozoficzne problemy teorii mnogości. Wynika to jednak z samego charakteru zagadnień, poruszanych w tej części książki.

W Części I Autor na 59 stronach zmieścił 15 rozdziałów. Rozdziały te zawierają bardzo zwięzłe przedstawienie poglądów poszczególnych filozofów i matematyków. Prof. Murawski dokonał wyboru tych myślicieli, którzy do filozofii i metodologii matematyki wnieśli istotnie nowe idee. Czytelnik napotka tu mozaikę poglądów, przy czym Autor stara się unikać ocen (co wyraźnie zaznacza w Przedmowie) i nie daje - przynajmniej w tej części książki - podsumowania, które by ukazało ewolucję zasadniczych idei w ciągu wieków. Powiązanie elementów mozaiki w jeden spójny obraz Autor pozostawia czytelnikowi (zarys ewolucji pojęć dotyczących nieskończoności, zbiorów i geometrii znajdzie jednak czytelnik w Dodatkach I i II). Uderzył mnie brak wśród nazwisk, stanowiących tytuły rozdziałów tej części książki, nazwisk Galileusza, a zwłaszcza Izaaka Newtona. W rozdziale poświęconym Leibnizowi nie spotkałem wzmianki o stworzonym przez niego - niezależnie od Newtona - rachunku różniczkowym i całkowym (jest tylko bardzo ogólne stwierdzenie, że obok osiągnięć filozoficznych Leibniz wniósł istotny wkład do samej matematyki). Widocznie Autor, jako matematyk i filozof matematyki, nie interesuje się zastosowaniami matematyki do badania fizycznego świata.

Część II książki, dotycząca współczesnych problemów w filozofii matematyki, jest obszerniejsza (77 stron) i zawiera dość szczegółowe omówienie trzech zasadniczych kierunków, które powstały z końcem XIX w. i w wieku XX w wyniku intensywnego rozwoju logiki matematycznej i teorii mnogości, a także jako reakcja na tzw. drugi kryzys podstaw matematyki - wynikły z pojawienia się antynomii na terenie Cantorowskiej teorii mnogości. Autor omawia kolejno:

1. Logicyzm - związany przede wszystkim z nazwiskami G. Fregego, G. Peano, B. Russella i A. N. Whiteheada. Prof. Murawski przedstawia powstanie logicyzmu oraz teorię typów, będącą próbą uwolnienia matematyki od antynomii. Logicyzm, który usiłował sprowadzić całą matematykę do logiki, dokonał właściwie zdaniem Autora czegoś innego: redukcji matematyki do teorii mnogości.

2. Intuicjonizm i prądy konstruktywistyczne. Twórcą intuicjonizmu był L. E. J. Brouwer, kontynuatorami jego idei A. Heyting i A. S. Troelstra - Autor omawia dość szczegółowo ich poglądy. W drugim paragrafie rozdziału, poświęconym prądom konstruktywistycznym, tytuły poszczególnych punktów są dobrą ilustracją przedstawionych stanowisk: Finityzm, Ultraintuicjonizm, Predykatywizm, Klasyczna i konstruktywna matematyka rekurencyjna, Konstruktywizm Bishopa, Mostowskiego stopnie konstruktywności. Autor poświęca więc intuicjonizmowi i konstruktywizmowi sporo miejsca, choć są to poglądy, mocno ograniczające dopuszczalną problematykę matematyczną.

3. Formalizm - w tym rozdziale znajdziemy omówienie programu Hilberta i ograniczenia w jego realizacji wynikające z twierdzeń o niezupełności (twierdzenia G÷dla).

4. Nowe prądy w filozofii matematyki. Prof. Murawski przedstawia tu najpierw prace Quine'a, Godla i Wittgensteina. Z pewnym zdziwieniem spotkałem w trakcie lektury tego rozdziału całe dwie strony poświęcone poglądom na matematykę klasyków marksizmu i współczesnych marksistów. Następnie Autor omawia nowe próby spojrzenia na matematykę, które starają się uniknąć jednostronności klasycznych koncepcji matematyki: analizę niesformalizowanej matematyki w wydaniu I. Lakatosa (tzw. quasi-empirycyzm), koncepcję R. L. Wildera matematyki jako systemu kulturowego, propozycję R. Hersha (będącą syntezą poglądów Lakatosa i Wildera) oraz tzw. matematykę intensjonalną.

Z Dodatków umieszczonych na końcu książki najobszerniejszy jest pierwszy, przedstawiający filozoficzne problemy fundamentalnej teorii współczesnej matematyki - teorii mnogości. Znajdziemy tu szkic historycznego rozwoju pojęcia nieskończoności i pojęcia zbioru, Autor porusza problem sposobu istnienia zbiorów, następnie przedstawia rozwój teorii mnogości, jej aksjomatyzację i związane z tym problemy. Wydaje się, że badania w tej dziedzinie są właściwą drogą do zapewnienia pewności i niesprzeczności poznaniu matematycznemu.

Prof. Murawski pisze we Wstępie do swej książki: "Wśród problemów rozważanych przez filozofię matematyki można wyróżnić kwestie ontologiczne i epistemologiczne". Do tej drugiej grupy zagadnień Autor zalicza także problemy metodologiczne. Wydaje się, że tym kwestiom, a zwłaszcza problemom metodologicznym w matematyce, prof. Murawski przyznał w swej pracy więcej miejsca, szczególnie przy omawianiu kierunków współczesnych. Może właśnie dlatego Autor w Części II pomija zagadnienie platonizmu we współczesnej matematyce, choć platoński realizm uznający niezależne od naszego poznania istnienie obiektów matematycznych, które raczej "odkrywamy" i "zastajemy" niż "konstruujemy", jest stanowiskiem wśród dzisiejszych matematyków dość częstym (platonizm jest jednak zaprezentowany w Dodatku I jako jedno ze stanowisk w kwestii istnienia zbiorów).

W Przedmowie książki prof. Murawskiego spotkałem takie zdanie: "Czytelnik z pewnością domyśli się w trakcie lektury, że autor jest matematykiem i logikiem - stąd tyle w książce odniesień do logiki i matematyki". Jest to rzeczywiście w trakcie lektury dobrze widoczne. Z jednej strony jest to duży pozytyw tej książki: Autor wie, o czym pisze. Zagadnienia z dziedziny podstaw matematyki i metamatematyki, zwłaszcza te, które szczególnie interesują filozofa matematyki, są mu dobrze znane. Z drugiej strony czytelnik o szerszych zainteresowaniach filozoficznych, nie ograniczonych do problemów metodologii samej matematyki, może odczuć pewne braki omawianej książki, wynikające zapewne właśnie z faktu, że Autor jest bardziej matematykiem niż filozofem: w szczególności prof. Murawski pomija zupełnie bardzo interesujące zagadnienie skuteczności matematyki w badaniu fizycznej rzeczywistości świata. To, że "przyroda jest matematyczna", że metoda matematyczno-empiryczna od momentu swego powstania odnosi tak niezwykłe rezultaty, a sama matematyka wydaje się być wręcz tworzywem fizycznego świata, jest interesujące nie tylko dla filozofa przyrody. Także filozof matematyki, stawiając pytania o przedmiot matematyki i sposób istnienia obiektów badanych przez matematykę, powinien chyba uwzględnić te kwestie.

opr. jk/ab

« 1 »
oceń artykuł Pobieranie..

reklama

reklama

reklama